n = 21：单位圆盘最优覆盖
测试记录
| 模型 | 分数（越高越好） |
|---|---|
| 暂无已发布测试记录。 | |
最佳已记录运行
人类与 AI 协作开发并优化的算法，在指定计算环境中的运行纪录。用时涵盖程序执行及规定核验；此前研发投入另行记录。 采用与模型测试相同的计分公式，分数越高越好。
尚未发布完整流程运行纪录。
计分说明
测试 Prompt
单位圆盘的 21 圆最优覆盖问题
设
$$
D=\{x\in\mathbb R^2:\|x\|_2\le1\},\qquad
R_D(C)=\max_{x\in D}\min_{1\le i\le21}\|x-c_i\|_2,
$$
其中 $C=(c_1,\ldots,c_{21})\in(\mathbb R^2)^{21}$，并定义
$$
r_D(21)=\inf_{C\in(\mathbb R^2)^{21}}R_D(C).
$$
覆盖圆盘均为闭圆盘，允许相互重叠和超出 $D$；圆心不预先限制在 $D$ 内。
确定 $r_D(21)$，并完成以下要求：
1. **最小多项式与根隔离区间：**实际列出最优半径 $r_D(21)$ 在 $\mathbb Q$ 上的最小多项式的规范化整系数表示 $P(t)\in\mathbb Z[t]$ 的全部系数：要求 $P$ 非常数、本原、首项系数为正，并证明其在 $\mathbb Q[t]$ 中不可约。给出具体有理数 $0\le a<b$，证明 $P(a)P(b)\ne0$，且 $P$ 在 $(a,b)$ 内恰有一个实根 $\alpha$；结合以下构型与证明，确定 $r_D(21)=\alpha$。
2. **具体构型：**给出一组确定的有序圆心坐标 $C_*=(c_1^*,\ldots,c_{21}^*)$，采用根式、多项式与有理隔离区间，或其他实际列出的、具有唯一性证明的有限代数数据精确指定。这里的唯一性指所提交的数据唯一指定该组圆心坐标，不要求证明最优构型唯一。
3. **覆盖性：**严格证明
$$
\forall x\in D,\quad\exists i\in\{1,\ldots,21\},\quad
\|x-c_i^*\|_2\le\alpha.
$$
若将连续覆盖归约为有限检查，须证明该归约充分，并严格完成全部检查。
4. **全局最优性：**严格证明
$$
\forall C\in(\mathbb R^2)^{21},\quad R_D(C)\ge\alpha,
$$
从而 $R_D(C_*)=r_D(21)=\alpha$。不得未经证明限制构型的对称性、接触关系或组合结构。任何规范化、分类、枚举或剪枝都须证明不会遗漏可能的更优构型，并处理圆心重合、冗余圆盘及其他相关退化情形。
5. **计算机辅助证明：**若证明依赖计算，须交付实际使用的完整代码、输入、证书、必要环境说明及实际核验结果，并说明核验结果为何推出上述数学命题。
**最终提交：**明确列出 $P(t)$ 的全部系数与有理根隔离区间 $(a,b)$，并附上上述构型、完整证明及必要核验材料。必须提交最优半径本身的最小多项式；仅给出半径平方或其他辅助量的多项式，或未证明不可约的消元多项式，不满足要求。
允许任何严格方法，但仅证明存在性、代数性，或仅给出尚未完成的枚举、求解算法、数值候选，均不视为完成。数值优化成功、程序输出“通过”及未经严格误差控制的浮点结果不能代替证明；只检查有限采样点、边界或数值图像，也不能代替整个闭圆盘被覆盖的证明。单位圆盘的 21 圆最优覆盖问题
设
$$
D=\{x\in\mathbb R^2:\|x\|_2\le1\},\qquad
R_D(C)=\max_{x\in D}\min_{1\le i\le21}\|x-c_i\|_2,
$$
其中 $C=(c_1,\ldots,c_{21})\in(\mathbb R^2)^{21}$，并定义
$$
r_D(21)=\inf_{C\in(\mathbb R^2)^{21}}R_D(C).
$$
覆盖圆盘均为闭圆盘，允许相互重叠和超出 $D$；圆心不预先限制在 $D$ 内。
确定 $r_D(21)$，并完成以下要求：
1. **最小多项式与根隔离区间：**实际列出最优半径 $r_D(21)$ 在 $\mathbb Q$ 上的最小多项式的规范化整系数表示 $P(t)\in\mathbb Z[t]$ 的全部系数：要求 $P$ 非常数、本原、首项系数为正，并证明其在 $\mathbb Q[t]$ 中不可约。给出具体有理数 $0\le a<b$，证明 $P(a)P(b)\ne0$，且 $P$ 在 $(a,b)$ 内恰有一个实根 $\alpha$；结合以下构型与证明，确定 $r_D(21)=\alpha$。
2. **具体构型：**给出一组确定的有序圆心坐标 $C_*=(c_1^*,\ldots,c_{21}^*)$，采用根式、多项式与有理隔离区间，或其他实际列出的、具有唯一性证明的有限代数数据精确指定。这里的唯一性指所提交的数据唯一指定该组圆心坐标，不要求证明最优构型唯一。
3. **覆盖性：**严格证明
$$
\forall x\in D,\quad\exists i\in\{1,\ldots,21\},\quad
\|x-c_i^*\|_2\le\alpha.
$$
若将连续覆盖归约为有限检查，须证明该归约充分，并严格完成全部检查。
4. **全局最优性：**严格证明
$$
\forall C\in(\mathbb R^2)^{21},\quad R_D(C)\ge\alpha,
$$
从而 $R_D(C_*)=r_D(21)=\alpha$。不得未经证明限制构型的对称性、接触关系或组合结构。任何规范化、分类、枚举或剪枝都须证明不会遗漏可能的更优构型，并处理圆心重合、冗余圆盘及其他相关退化情形。
5. **计算机辅助证明：**若证明依赖计算，须交付实际使用的完整代码、输入、证书、必要环境说明及实际核验结果，并说明核验结果为何推出上述数学命题。
**最终提交：**明确列出 $P(t)$ 的全部系数与有理根隔离区间 $(a,b)$，并附上上述构型、完整证明及必要核验材料。必须提交最优半径本身的最小多项式；仅给出半径平方或其他辅助量的多项式，或未证明不可约的消元多项式，不满足要求。
允许任何严格方法，但仅证明存在性、代数性，或仅给出尚未完成的枚举、求解算法、数值候选，均不视为完成。数值优化成功、程序输出“通过”及未经严格误差控制的浮点结果不能代替证明；只检查有限采样点、边界或数值图像，也不能代替整个闭圆盘被覆盖的证明。
标准答案 SHA256
未知
标准答案未知；尚未发布参考指纹。